(или собственные колебания ) — это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинети-ческой) при отсутствии внешних воздействий.
Потенциальная или кинетическая энергия может быть сообщена, например, в механических системах через начальное смещение или начальную скорость.
Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними обра-зуют систему тел, которая называется колебательной системой .
Например, пружина, шарик и вертикальная стойка, к которой прикреплен верхний конец пружины (см. рис. ниже), входят в колебательную систему. Здесь шарик свободно скользит по струне (силы трения пренебрежимо малы). Если отвести шарик вправо и предоставить его самому себе, он будет совершать свободные колебания около положения равновесия (точки О ) вследствие действия силы упругости пружины, направленной к положению равновесия.
Другим классическим примером механической колебательной системы является математический маятник (см. рис. ниже). В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити (в колебательную систему входит также Земля). Их равнодействующая направлена к положению равновесия.
Силы, действующие между телами колебательной системы, называются внутренними силами . Внешними силами называют-ся силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в нее. С этой точки зрения свобод-ные колебания можно определить как колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия.
Условиями возникновения свободных колебаний являются:
1) возникновение в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия, после того как ее вывели из этого состояния;
2) отсутствие трения в системе.
Динамика свободных колебаний.
Колебания тела под действием сил упругости . Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости F () может быть получено с учетом второго закона Ньютона (F = mа ) и закона Гука (F упр = -kx ), где m — масса шарика, а — ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, k — коэффициент жесткости пружины, х — смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось Ох ). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение а — это вторая производная от координаты х (смещения), получим:
.
Аналогично выражение для ускорения а получим, дифференцируя (v = -v m sin ω 0 t = -v m x m cos (ω 0 t + π/2) ):
a = -a m cos ω 0 t,
где a m = ω 2 0 x m — амплитуда ускорения. Таким образом, амплитуда скорости гармонических коле-баний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения — квадрату частоты колебания.
Механические колебания
1. Механические колебания
1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания
1.2 Автоколебания
1.3 Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных
1.4 Механические волны, их виды и скорость распространения
1.5 Энергетические характеристики волны
Список использованных источников
1. Механические колебания
1.1 Механические колебания: гармонические, затухающие и вынужденные колебания
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качание маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника, работа сердца).
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Мы будем рассматривать механические колебания. Колебания, происходящие при отсутствии трения и внешних сил, называются собственными; их частота зависит только от свойств системы.
Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса.
Дифференциальное уравнение гармонического колебания
Рассмотрим простейшую колебательную систему: шарик массой m подвешен на пружине.
В этом случае упругая сила F1 уравновешивает силу тяжести mg. Если сместить шарик на расстояние х , то на него будет действовать большая упругая сила (F1 + F). Изменение упругой силы по закону Гука пропорционально изменению длины пружины или смещению шарика х:
где k - жесткость пружины. Знак "-" отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления.
где (w 0 t + a 0) = a - фаза колебаний; a 0 - начальная фаза при t = 0; w 0 - круговая частота колебаний; A - их амплитуда.
Итак, смещение x изменяется со временем по закону косинуса.
Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида f = - kx, представляет собой гармоническое колебание.
Для пружинного маятника получаем:
Круговая частота связана с обычной n соотношением: .
Энергия при гармоническом колебании
Выясним, как изменяется со временем кинетическая Еk и потенциальная Еп энергия гармонического колебания. Кинетическая энергия равна:
, (4)где k = m w 0 2 .
Потенциальную энергию находим из формулы потенциальной энергии для упругой деформации и используя (3):
(5)Складывая (4) и (5), с учетом соотношения
, получим:E = E K + E П =
. (6)Таким образом, полная энергия гармонического колебания остается постоянной в отсутствие сил трения, во время колебательного процесса кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот.
Затухающие колебания
Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь.
Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.
Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуют силы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид:
. (7)Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:
, (8)где r - коэффициент сопротивления среды. Знак " - " обусловлен тем, что F тр и V имеют противоположные направления.
Подставим (8) в (7). Тогда
илиОбозначим
,
где b - коэффициент затухания, w 0 - круговая частота собственных колебаний. Тогда
Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности: w 2 = w 0 2 -b 2 , где w - круговая частота затухающих колебаний. При условии w 0 2 -b 2 > 0, w является действительной величиной и решение (3) будет следующим:
График этой функции дан на рисунке.
Рис. 2. Затухающие колебания.
Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = ±A 0 e - b t .
Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен:
(11)При незначительном сопротивлении среды (b2 < Из формулы, выражающей закон убывания амплитуды колебаний, можно убедиться, что отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом в один период (Т), остается постоянным в течение всего процесса затухания. Действительно, амплитуды колебаний, отделенные интервалом в один период, выражаются так: Это отношение называют
этого отношения:
Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.
При сильном затухании b 2 > w02 из формулы (11) следует, что период колебания является мнимой величиной. Движение при этом носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий.
Вынужденные колебания. Резонанс
Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону: f = F0 cosW t , где F0 - амплитуда, W - круговая частота вынуждающей силы.
При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, то есть квазиупругую силу и силу сопротивления среды. Тогда уравнение движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:
Разделив это уравнение на m и перенеся члены с dx и d 2 x в левую часть получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Существуют разные виды колебаний в физике, характеризующиеся определенными параметрами. Рассмотрим их основные отличия, классификацию по разным факторам.
Основные определения
Под колебанием подразумевают процесс, в котором через равные промежутки времени основные характеристики движения имеют одинаковые значения.
Периодическими называют такие колебания, при которых значения основных величин повторяются через одинаковые промежутки времени (период колебаний).
Разновидности колебательных процессов
Рассмотрим основные виды колебаний, существующие в фундаментальной физике.
Свободными называют колебания, которые возникают в системе, не подвергающейся внешним переменным воздействиям после начального толчка.
В качестве примера свободных колебаний является математический маятник.
Те виды механических колебаний, которые возникают в системе под действием внешней переменной силы.
Особенности классификации
По физической природе выделяют следующие виды колебательных движений:
- механические;
- тепловые;
- электромагнитные;
- смешанные.
По варианту взаимодействия с окружающей средой
Виды колебаний по взаимодействию с окружающей средой выделяют несколько групп.
Вынужденные колебания появляются в системе при действии внешнего периодического действия. В качестве примеров такого вида колебаний можно рассмотреть движение рук, листья на деревьях.
Для вынужденных гармонических колебаний возможно появление резонанса, при котором при равных значениях частоты внешнего воздействия и осциллятора при резком возрастании амплитуды.
Собственные это колебания в системе под воздействием внутренних сил после того, когда она будет выведена из равновесного состояния. Простейшим вариантом свободных колебаний является движение груза, который подвешен на нити, либо прикреплен к пружине.
Автоколебаниями называют виды, при которых у системы есть определенный запас потенциальной энергии, идущей на совершение колебаний. Отличительной чертой их является тот факт, что амплитуда характеризуется свойствами самой системы, а не первоначальными условиями.
Для случайных колебаний внешняя нагрузка имеет случайное значение.
Основные параметры колебательных движений
Все виды колебаний имеют определенные характеристики, о которых следует упомянуть отдельно.
Амплитудой называют максимальное отклонение от положения равновесия отклонение колеблющейся величины, измеряется она в метрах.
Период является время одного полного колебания, через который повторяются характеристики системы, вычисляется в секундах.
Частота определяется количеством колебаний за единицу времени, она обратно пропорциональна периоду колебаний.
Фаза колебаний характеризует состояние системы.
Характеристика гармонических колебаний
Такие виды колебаний происходят по закону косинуса или синуса. Фурье удалось установить, что всякое периодическое колебание можно представить в виде суммы гармонических изменений путем разложения определенной функции в
В качестве примера можно рассмотреть маятник, имеющий определенный период и циклическую частоту.
Чем характеризуются такие виды колебаний? Физика считает идеализированной системой, которая состоит из материальной точки, которая подвешена на невесомой нерастяжимой нити, колеблется под воздействием силы тяжести.
Такие виды колебаний обладают определенной величиной энергии, они распространены в природе и технике.
При продолжительном колебательном движении происходит изменение координаты его центра масс, а при переменном токе меняется значение тока и напряжения в цепи.
Выделяют разные виды гармонических колебаний по физической природе: электромагнитные, механические и др.
В качестве вынужденных колебаний выступает тряска транспортного средства, которое передвигается по неровной дороге.
Основные отличия между вынужденными и свободными колебаниями
Эти виды электромагнитных колебаний отличаются по физическим характеристикам. Наличие сопротивления среды и силы трения приводят к затуханию свободных колебаний. В случае вынужденных колебаний потери энергии компенсируются ее дополнительным поступлением от внешнего источника.
Период пружинного маятника связывает массу тела и жесткость пружины. В случае математического маятника он зависит от длины нити.
При известном периоде можно вычислить собственную частоту колебательной системы.
В технике и природе существуют колебания с разными значениями частот. К примеру, маятник, который колеблется в Исаакиевском соборе в Петербурге, имеет частоту 0,05 Гц, а у атомов она составляет несколько миллионов мегагерц.
Через некоторый промежуток времени наблюдается затухание свободных колебаний. Именно поэтому в реальной практике применяют вынужденные колебания. Они востребованы в разнообразных вибрационных машинах. Вибромолот является ударно-вибрационной машиной, которая предназначается для забивки в грунт труб, свай, иных металлических конструкций.
Электромагнитные колебания
Характеристика видов колебаний предполагает анализ основных физических параметров: заряда, напряжения, силы тока. В качестве элементарной системы, которая используется для наблюдения электромагнитных колебаний, является колебательный контур. Он образуется при последовательном соединении катушки и конденсатора.
При замыкании цепи, в ней возникают свободные электромагнитные колебания, связанные с периодическими изменениями электрического заряда на конденсаторе и тока в катушке.
Свободными они являются благодаря тому, что при их совершении нет внешнего воздействия, а используется только энергия, которая запасена в самом контуре.
При отсутствии внешнего воздействия, через определенный промежуток времени, наблюдается затухание электромагнитного колебания. Причиной подобного явления будет постепенная разрядка конденсатора, а также сопротивление, которым в реальности обладает катушка.
Именно поэтому в реальном контуре происходят затухающие колебания. Уменьшение заряда на конденсаторе приводит к снижению значения энергии в сравнении с ее первоначальным показателем. Постепенно она выделится в виде тепла на соединительных проводах и катушке, конденсатор полностью разрядится, а электромагнитное колебание завершится.
Значение колебаний в науке и технике
Любые движения, которые обладают определенной степенью повторяемости, являются колебаниями. Например, математический маятник характеризуется систематическим отклонением в обе стороны от первоначального вертикального положения.
Для пружинного маятника одно полное колебание соответствует его движению вверх-вниз от начального положения.
В электрическом контуре, который обладает емкостью и индуктивностью, наблюдается повторение заряда на пластинах конденсатора. В чем причина колебательных движений? Маятник функционирует благодаря тому, что сила тяжести заставляет его возвращаться в первоначальное положение. В случае пружиной модели подобную функцию осуществляет сила упругости пружины. Проходя положение равновесия, груз имеет определенную скорость, поэтому по инерции движется мимо среднего состояния.
Электрические колебания можно объяснить разностью потенциалов, существующей между обкладками заряженного конденсатора. Даже при его полной разрядке ток не исчезает, осуществляется перезарядка.
В современной технике применяются колебания, которые существенно различаются по своей природе, степени повторяемости, характеру, а также «механизму» появления.
Механические колебания совершают струны музыкальных инструментов, морские волны, маятник. Химические колебания, связанные с изменением концентрации реагирующих веществ, учитывают при проведении различных взаимодействий.
Электромагнитные колебания позволяют создавать различные технические приспособления, например, телефон, ультразвуковые медицинские приборы.
Колебания яркости цефеид представляют особый интерес в астрофизике, их изучением занимаются ученые из разных стран.
Заключение
Все виды колебаний тесно связаны с огромным количеством технических процессов и физических явлений. Велико их практическое значение в самолетостроении, строительстве судов, возведении жилых комплексов, электротехнике, радиоэлектронике, медицине, фундаментальной науке. Примером типичного колебательного процесса в физиологии выступает движение сердечной мышцы. Механические колебания встречаются в органической и неорганической химии, метеорологии, а также во многих иных естественнонаучных областях.
Первые исследования математического маятника были проведены в семнадцатом веке, а к концу девятнадцатого столетия ученым удалось установить природу электромагнитных колебаний. Русский ученый Александр Попов, которого считают «отцом» радиосвязи, проводил свои эксперименты именно на основе теории электромагнитных колебаний, результатах исследований Томсона, Гюйгенса, Рэлея. Ему удалось найти практическое применение электромагнитным колебаниям, использовать их для передачи радиосигнала на большое расстояние.
Академик П. Н. Лебедев на протяжении многих лет проводил эксперименты, связанные с получение электромагнитных колебаний высокой частоты с помощью переменны электрических полей. Благодаря многочисленным экспериментам, связанные с различными видами колебаний, ученым удалось найти области их оптимального использования в современной науке и технике.
1. Колебания. Периодические колебания. Гармонические колебания.
2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания.
3. Вынужденные колебания. Резонанс.
4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний.
5. Автоколебания.
6. Колебания тела человека и их регистрация.
7. Основные понятия и формулы.
8. Задачи.
1.1. Колебания. Периодические колебания.
Гармонические колебания
Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.
Повторяющиеся процессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям.
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электрические и т.п. В настоящей лекции рассматриваются механические колебания.
Периодические колебания
Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.
Для периодических колебаний используют следующие характеристики:
период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;
частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);
амплитуда колебаний А, равная максимальному смещению от положения равновесия.
Гармонические колебания
Особое место среди периодических колебаний занимают гармонические колебания. Их значимость обусловлена следующими причинами. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Гармонические колебания - это колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса:
В математике функции этого вида называют гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими.
Положение тела, совершающего колебательное движение, характеризуется смещением относительно равновесного положения. В этом случае величины, входящие в формулу (1.1), имеют следующий смысл:
х - смещение тела в момент времени t;
А - амплитуда колебаний, равная максимальному смещению;
ω - круговая частота колебаний (число колебаний, совершаемых за 2π секунд), связанная с частотой колебаний соотношением
φ = (ωt +φ 0) - фаза колебаний (в момент времени t); φ 0 - начальная фаза колебаний (при t = 0).
Рис. 1.1.
Графики зависимости смещения от времени для х(0) = А и х(0) = 0
1.2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания
Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия.
Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, нужно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. При толчке шарику сообщается кинетическая энергия, а при отклонении - потенциальная.
Свободные колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии.
Свободные незатухающие колебания
Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. В противном случае первоначальный запас энергии будет расходоваться на ее преодоление, и размах колебаний будет уменьшаться.
В качестве примера рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине, возникающие после того, как тело отклонили вниз, а затем отпустили (рис. 1.2).
Рис. 1.2.
Колебания тела на пружине
Со стороны растянутой пружины на тело действует упругая сила F, пропорциональная величине смещения х:
Постоянный множитель k называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и материала. Знак «-» указывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, т.е. к положению равновесия.
При отсутствии трения упругая сила (1.4) - это единственная сила, действующая на тело. Согласно второму закону Ньютона (ma = F):
После
переноса всех слагаемых в левую часть и деления на массу тела (m)
получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии
трения:
Величина ω 0 (1.6) оказалась равной циклической частоте. Эту частоту называют собственной.
Таким образом, свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими, если при отклонении от положения равновесия возникает упругая сила (1.4).
Собственная круговая частота является основной характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина зависит только от свойств колебательной системы (в рассматриваемом случае - от массы тела и жесткости пружины). В дальнейшем символ ω 0 всегда будет использоваться для обозначения собственной круговой частоты (т.е. частоты, с которой происходили бы колебания при отсутствии силы трения).
Амплитуда свободных колебаний определяется свойствами колебательной системы (m, k) и энергией, сообщенной ей в начальный момент времени.
При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармоническим, возникают также и в других системах: математический и физический маятники (теория этих вопросов не рассматривается) (рис. 1.3).
Математический маятник - небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити (рис. 1.3 а). Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой (до 5°) угол α и отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, определяемым по формуле
где L - длина нити, g - ускорение свободного падения.
Рис. 1.3.
Математический маятник (а), физический маятник (б)
Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рисунке 1.3 б схематически изображен физический маятник в виде тела произвольной формы, отклоненного от положения равновесия на угол α. Период колебаний физического маятника описывается формулой
где
J - момент инерции тела относительно оси, m - масса, h - расстояние
между центром тяжести (точка С) и осью подвеса (точка О).
Момент инерции - это величина, зависящая от массы тела, его размеров и положения относительно оси вращения. Вычисляется момент инерции по специальным формулам.
Свободные затухающие колебания
Силы трения, действующие в реальных системах, существенно изменяют характер движения: энергия колебательной системы постоянно убывает, и колебания либо затухают, либо вообще не возникают.
Сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению тела, и при не очень больших скоростях пропорциональна величине скорости:
График таких колебаний представлен на рис. 1.4.
В качестве характеристики степени затухания используют безразмерную величину, называемую логарифмическим декрементом затухания λ.
Рис. 1.4.
Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях
Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды предыдущего колебания к амплитуде последующего колебания.
где i - порядковый номер колебания.
Нетрудно видеть, что логарифмический декремент затухания находится по формуле
Сильное затухание. При
выполнении условия β ≥ ω 0 система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим. На рисунке 1.5 показаны два возможных способа возвращения в положение равновесия при апериодическом движении.
Рис. 1.5.
Апериодическое движение
1.3. Вынужденные колебания, резонанс
Свободные колебания при наличии сил трения являются затухающими. Незатухающие колебания можно создать с помощью периодического внешнего воздействия.
Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодической силы (ее называют вынуждающей силой).
Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону
График вынужденных колебаний представлен на рис. 1.6.
Рис. 1.6.
График зависимости смещения от времени при вынужденных колебаниях
Видно, что амплитуда вынужденных колебаний достигает установившегося значения постепенно. Установившиеся вынужденные колебания являются гармоническими, а их частота равна частоте вынуждающей силы:
Амплитуда (А) установившихся вынужденных колебаний находится по формуле:
Резонансом
называется достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы.
Если условие (1.18) не выполнено, то резонанс не возникает. В этом случае при увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает, стремясь к нулю.
Графическая зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания (β 1 > β 2 > β 3) показана на рис. 1.7. Такая совокупность графиков называется резонансными кривыми.
В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды колебаний при резонансе является опасным для прочности системы. Известны случаи, когда резонанс приводил к разрушению конструкций.
Рис. 1.7.
Резонансные кривые
1.4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний
В таблице 1.1 представлены характеристики рассмотренных колебательных процессов.
Таблица 1.1. Характеристики свободных и вынужденных колебаний
Энергия незатухающих гармонических колебаний
Тело, совершающее гармонические колебания, обладает двумя видами энергии: кинетической энергией движения Е к = mv 2 /2 и потенциальной энергией Е п, связанной с действием упругой силы. Известно, что при действии упругой силы (1.4) потенциальная энергия тела определяется формулой Е п = кх 2 /2. Для незатухающих колебаний х = А cos(ωt), а скорость тела определяется по формуле v = - А ωsin(ωt). Отсюда получаются выражения для энергий тела, совершающего незатухающие колебания:
Полная
энергия системы, в которой происходят незатухающие гармонические
колебания, складывается из этих энергий и остается неизменной:
Здесь m - масса тела, ω и A - круговая частота и амплитуда колебаний, k - коэффициент упругости.
1.5. Автоколебания
Существуют такие системы, которые сами регулируют периодическое восполнение потерянной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.
Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется самой колебательной системой.
Системы, в которых возникают такие колебания, называются автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебательную систему можно представить следующей схемой:
В
данном случае сама колебательная система каналом обратной связи
воздействует на регулятор энергии, информируя его о состоянии системы.
Обратной связью называется воздействие результатов какоголибо процесса на его протекание.
Если такое воздействие приводит к возрастанию интенсивности процесса, то обратная связь называется положительной. Если воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то обратная связь называется отрицательной.
В автоколебательной системе может присутствовать как положительная, так и отрицательная обратная связь.
Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в те моменты, когда маятник проходит через среднее положение.
Примером биологических автоколебательных систем являются такие органы, как сердце, легкие.
1.6. Колебания тела человека и их регистрация
Aнализ колебаний, создаваемых телом человека или его отдельными частями, широко используется в медицинской практике.
Колебательные движения тела человека при ходьбе
Ходьба - это сложный периодический локомоторный процесс, возникающий в результате координированной деятельности скелетных мышц туловища и конечностей. Aнализ процесса ходьбы дает много диагностических признаков.
Характерной особенностью ходьбы является периодичность опорного положения одной ногой (период одиночной опоры) или двух ног (период двойной опоры). В норме соотношение этих периодов равно 4:1. При ходьбе происходит периодическое смещение центра масс (ЦМ) по вертикальной оси (в норме на 5 см) и отклонение в сторону (в норме на 2,5 см). При этом ЦМ совершает движение по кривой, которую приближенно можно представить гармонической функцией (рис. 1.8).
Рис. 1.8.
Вертикальное смещение ЦМ тела человека во время ходьбы
Сложные колебательные движения при поддержании вертикального положения тела.
У человека, стоящего вертикально, происходят сложные колебания общего центра масс (ОЦМ) и центра давления (ЦД) стоп на плоскость опоры. На анализе этих колебаний основана статокинезиметрия - метод оценки способности человека сохранять вертикальную позу. Посредством удержания проекции ОЦМ в пределах координат границы площади опоры. Данный метод реализуется с помощью стабилометрического анализатора, основной частью которого является стабилоплатформа, на которой в вертикальной позе находится испытуемый. Колебания, совершаемые ЦД испытуемого при поддержании вертикальной позы, передаются стабилоплатформе и регистрируются специальными тензодатчиками. Сигналы тензодатчиков передаются на регистрирующее устройство. При этом записывается статокинезиграмма - траектория перемещения ЦД испытуемого на горизонтальной плоскости в двумерной системе координат. По гармоническому спектру статокинезиграммы можно судить об особенностях вертикализации в норме и при отклонениях от нее. Данный метод позволяет анализировать показатели статокинетической устойчивости (СКУ) человека.
Механические колебания сердца
Существуют различные методы исследования сердца, в основе которых лежат механические периодические процессы.
Баллистокардиография (БКГ) - метод исследования механических проявлений сердечной деятельности, основанный на регистрации пульсовых микроперемещений тела, обусловленных выбрасыванием толчком крови из желудочков сердца в крупные сосуды. При этом возникает явление отдачи. Тело человека помещают на специальную подвижную платформу, находящуюся на массивном неподвижном столе. Платформа в результате отдачи приходит в сложное колебательное движение. Зависимость смещения платформы с телом от времени называется баллистокардиограммой (рис. 1.9), анализ которой позволяет судить о движении крови и состоянии сердечной деятельности.
Апекскардиография (AKГ) - метод графической регистрации низкочастотных колебаний грудной клетки в области верхушечного толчка, вызванных работой сердца. Регистрация апекскардиограммы производится, как правило, на многоканальном электрокарди-
Рис. 1.9.
Запись баллистокардиограммы
ографе при помощи пьезокристаллического датчика, являющегося преобразователем механических колебаний в электрические. Перед записью на передней стенке грудной клетки пальпаторно определяют точку максимальной пульсации (верхушечный толчок), в которой и фиксируют датчик. По сигналам датчика автоматически строится апекскардиограмма. Проводят амплитудный анализ АКГ - сравнивают амплитуды кривой при разных фазах работы сердца с максимальным отклонением от нулевой линии - отрезок ЕО, принимаемый за 100%. На рисунке 1.10 представлена апекскардиограмма.
Рис. 1.10.
Запись апекскардиограммы
Кинетокардиография (ККГ) - метод регистрации низкочастотных вибраций стенки грудной клетки, обусловленных сердечной деятельностью. Кинетокардиограмма отличается от апекскардиограммы: первая фиксирует запись абсолютных движений грудной стенки в пространстве, вторая регистрирует колебания межреберий относительно ребер. В данном методе определяются перемещение (ККГ х), скорость перемещения (ККГ v) а также ускорение (ККГ а) для колебаний грудной клетки. На рисунке 1.11 представлено сопоставление различных кинетокардиограмм.
Рис. 1.11.
Запись кинетокардиограмм перемещения (х), скорости (v), ускорения (а)
Динамокардиография (ДКГ) - метод оценки перемещения центра тяжести грудной клетки. Динамокардиограф позволяет регистрировать силы, действующие со стороны грудной клетки человека. Для записи динамокардиограммы пациент располагается на столе лежа на спине. Под грудной клеткой находится воспринимающее устройство, которое состоит из двух жестких металлических пластин размером 30x30 см, между которыми расположены упругие элементы с укрепленными на них тензодатчиками. Периодически меняющаяся по величине и месту приложения нагрузка, действующая на воспринимающее устройство, слагается из трех компонент: 1) постоянная составляющая - масса грудной клетки; 2) переменная - механический эффект дыхательных движений; 3) переменная - механические процессы, сопровождающие сердечное сокращение.
Запись динамокардиограммы осуществляют при задержке дыхания исследуемым в двух направлениях: относительно продольной и поперечной оси воспринимающего устройства. Сравнение различных динамокардиограмм показано на рис. 1.12.
Сейсмокардиография основана на регистрации механических колебаний тела человека, вызванных работой сердца. В этом методе с помощью датчиков, установленных в области основания мечевидного отростка, регистрируется сердечный толчок, обусловленный механической активностью сердца в период сокращения. При этом происходят процессы, связанные с деятельностью тканевых механорецепторов сосудистого русла, активирующихся при снижении объема циркулирующей крови. Сейсмокардиосигнал формирует форма колебаний грудины.
Рис. 1.12.
Запись нормальной продольной (а) и поперечной (б) динамокардиограмм
Вибрация
Широкое внедрение различных машин и механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние.
Вибрация - вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое целое, либо колеблются его отдельные части с различными амплитудами и частотами.
Человек постоянно испытывает различного рода вибрационные воздействия в транспорте, на производстве, в быту. Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например, руке рабочего, держащего отбойный молоток), распространяются по всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тканях организма переменные деформации различных видов (сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации: частотой (спектр частот, основная частота), амплитудой, скоростью и ускорением колеблющейся точки, энергией колебательных процессов.
Продолжительное воздействие вибраций вызывает в организме стойкие нарушения нормальных физиологических функций. Может возникнуть «вибрационная болезнь». Эта болезнь приводит к ряду серьезных нарушений в организме человека.
Влияние, которое вибрации оказывают на организм, зависит от интенсивности, частоты, длительности вибраций, места их приложения и направления по отношению к телу, позе, а также от состояния человека и его индивидуальных особенностей.
Колебания с частотой 3-5 Гц вызывают реакции вестибулярного аппарата, сосудистые расстройства. При частотах 3-15 Гц наблюдаются расстройства, связанные с резонансными колебаниями отдельных органов (печень, желудок, голова) и тела в целом. Колебания с частотами 11-45 Гц вызывают ухудшение зрения, тошноту, рвоту. При частотах, превышающих 45 Гц, возникают повреждение сосудов головного мозга, нарушение циркуляции крови и т.д. На рисунке 1.13 приведены области частот вибрации, оказывающие вредное действие на человека и системы его органов.
Рис. 1.13.
Области частот вредного воздействия вибрации на человека
В то же время в ряде случаев вибрации находят применение в медицине. Например, при помощи специального вибратора стоматолог готовит амальгаму. Использование высокочастотных вибрационных аппаратов позволяет высверлить в зубе отверстие сложной формы.
Вибрация используется и при массаже. При ручном массаже массируемые ткани приводятся в колебательное движение при помощи рук массажиста. При аппаратном массаже используются вибраторы, в которых для передачи телу колебательных движений служат наконечники различной формы. Вибрационные аппараты подразделяются на аппараты для общей вибрации, вызывающие сотрясение всего тела (вибрационные «стул», «кровать», «платформа» и др.), и аппараты местного вибрационного воздействия на отдельные участки тела.
Механотерапия
В лечебной физкультуре (ЛФК) используются тренажеры, на которых осуществляются колебательные движения различных частей тела человека. Они используются в механотерапии - форме ЛФК, одной из задач которой является осуществление дозированных, ритмически повторяющихся физических упражнений с целью тренировки или восстановления подвижности в суставах на аппаратах маятникового типа. Основу этих аппаратов составляет балансирующий (от фр. balancer - качать, уравновешивать) маятник, который представляет собой двуплечный рычаг, совершающий колебательные (качательные) движения около неподвижной оси.
1.7. Основные понятия и формулы
Продолжение таблицы
Продолжение таблицы
Окончание таблицы
1.8. Задачи
1. Привести примеры колебательных систем у человека.
2. У взрослого человека сердце делает 70 сокращений в минуту. Определить: а) частоту сокращений; б) число сокращений за 50 лет
Ответ: а) 1,17 Гц; б) 1,84х10 9 .
3. Какую длину должен иметь математический маятник, чтобы период его колебаний был равен 1 секунде?
4.
Тонкий
прямой однородный стержень длиной 1 м подвешен за конец на оси.
Определить: а) чему равен период его колебаний (малых)? б) какова длина
математического маятника, имеющего такой же период колебаний?
5.
Тело
массой 1 кг совершает колебания по закону х = 0,42 cos(7,40t), где t -
измеряется в секундах, а х - в метрах. Найти: а) амплитуду; б) частоту;
в) полную энергию; г) кинетическую и потенциальную энергии при х = 0,16
м.
6.
Оценить скорость, с которой идет человек при длине шага l
=
0,65 м. Длина ноги L = 0,8 м; центр тяжести находится на расстоянии H =
0,5 м от ступни. Для момента инерции ноги относительно тазобедренного
сустава использовать формулу I = 0,2mL 2 .
7.
Каким
образом можно определить массу небольшого тела на борту космической
станции, если в вашем распоряжении имеются часы, пружина и набор гирь?
8.
Амплитуда
затухающих колебаний убывает за 10 колебаний на 1/10 часть своей
первоначальной величины. Период колебаний Т = 0,4 с. Определить
логарифмический декремент и коэффициент затухания.
Колебания – это движения или процессы, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Механические колебания- колебания механических величин (смещения, скорости, ускорения, давления и т.п.).
Механические колебания (в зависимости от характера сил) бывают:
свободные;
вынужденные;
автоколебания.
Свободными называют колебания, возникающие при однократном воздействии внешней силы (первоначальном сообщении энергии) и при отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
Свободные (или собственные) - это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие).
Условия возникновения свободных колебаний
1. Колебательная система должна иметь положение устойчивого равновесия.
2. При выведении системы из положения равновесия должна возникать равнодействующая сила, возвращающая систему в исходное положение
3. Силы трения (сопротивления) очень малы.
Вынужденные колебания - колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Автоколебания - незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии внешней переменной силы.
Частота и амплитуда автоколебаний определяется свойствами самой колебательной системы.
От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального воздействия, возбуждающего процесc колебаний.
Автоколебательная система состоит из: колебательной системы; источника энергии; устройства обратной связи, регулирующее поступление энергии из внутреннего источника энергии в колебательную систему.
Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной колебательной системой за то же время.
Механические колебания делятся на:
затухающие;
незатухающие.
Затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.
Характеристики колебательного движения:
постоянные:
амплитуда (А)
период (Т)
частота ()
Наибольшее (по модулю) отклонение колеблющегося тела от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Обычно амплитуду обозначают буквой А.
Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.
Период колебаний обычно обозначается буквой Т и в СИ измеряется в секундах (с).
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний .
Обозначается частота буквой v (“ню”). За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Эта единица в честь немецкого ученого Генриха Герца названа герцем (Гц).
период колебания Т и частота колебаний v связаны следующей зависимостью:
Т=1/ или =1/Т.
Циклическая (круговая) частота ω – число колебаний за 2π секунд
Гармонические колебания - механические колебания, которые происходят под действием силы, пропорциональной смещению и направленной противоположно ему. Гармонические колебания совершаются по закону синуса или косинуса.
Пусть материальная точка совершает гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний имеет вид :
а – ускорение V- скорость q – заряд А – амплитуда t -время